《线性代数》教学大纲

课程名称：线性代数 英文名称：Linear Algebra
总学时： 160(包括习题课和考试) 学分：8
开课学期：大一（下）及大二（上）
预修课程：空间解析几何，整数与多项式

一． 教学目的

线性代数是数学专业本科生的最主要的基础课程之一。其主要内容是讲述线性空间理论和矩阵理论。为今后学习代数学和其它学科打下基础，并且在科学研究和各行各业中有广泛的应用。同时，该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。

二． 课程简介

线性空间（其中的元素是向量）及其变换是该课程的主要处理对象，而矩阵运算是处理线性空间及其变换的主要工具。该课程不只是要让学生分别掌握线性空间和矩阵的知识，更重要的是要学会将线性空间的问题通过矩阵的语言建立起数学模型，利用矩阵运算加以解决。
主要内容有：线性方程组，行列式，矩阵的代数运算，线性空间的概念，线性映射与线性变换，矩阵相似的标准形理论，二次型，欧式空间和酉空间及其变换
需要说明的是，多项式是线性代数中需要用到的重要工具，又是近世代数课程的重要背景知识。一般是将它作为《线性代数》或《高等代数》课程第一章的内容，我们作了大胆的改革，将多项式与整数（一般在《初等数论》中讲授）这两个有非常多的共同点的对象放在一起，在一门新的课程《整数与多项式》中统一处理，作为《线性代数》和《近世代数》的预备课程。这样，使线性代数课程的线索更加清晰。

三． 重点及难点

重点：
1、 线性空间的有关部门概念，特别是向量的线性关系的有关概念。
2、 矩阵运算法则及技巧，特别是矩阵的乘法及初等变换。
3、 线性空间的问题怎样通过矩阵语言建立数学模型，并利用矩阵运算加以解决。
难点：
1、 抽象空间的公理化定义。
2、 矩阵乘法的熟练掌握。
3、 矩阵的相似理论。
4、几何对象（向量空间）与矩阵的相互转化。

四． 课程章节及主要内容

第一章. 线性方程组的解法
方程组的同解变形，高斯消去法，一般的线性方程组的解法及初步讨论。
引出概念：数域，n数组向量及其线性相关、线性无关，n数组向量组的秩，
矩阵的行秩。
第二章. 行列式
平行四边形面积和平行六面体体积的推广，行列式的定义及主要性质，
用初等变换求行列式.
展开定理.
线性方程组求解公式: Cramer 法则.
第三章. n 数组空间上的线性映射及其矩阵
n 元线性函数（一次齐次函数），向量值线性函数及其矩阵。
矩阵的代数运算，矩阵运算律及应用例
矩阵乘积的行列式.
矩阵的分块运算，矩阵的初等变换
可逆矩阵，初等变换求逆.
矩阵的相抵，相抵标准形，秩.
第四章. 向量空间
什么是向量? 向量空间的公理化定义
线性相关与线性无关
基，维数的唯一性
基变换与坐标变换.
子空间. 直和.
线性方程组解集的构造.
第五章. 一般向量空间上的线性映射
线性映射的描述性定义: 保加法, 保数乘.
线性映射的矩阵.
基变换对于线性变换矩阵的影响: 矩阵的相抵.
象与核. 几何方法得出相抵标准形.
线性函数. 对偶空间.
第六章. 线性变换
线性变换的定义，坐标变换对矩阵的影响, 矩阵的相似.
矩阵对角化的几何意义. 特征向量与特征值. 特征子空间.
复矩阵的上三角化. Cayley-Hamilton 定理 (用矩阵的三角化证明).
若当标准形的结论(暂不证明). 由秩的变化求若当标准形. 应用例.
附录: 数域上的一元多项式的性质:
带余除法, 互素的多项式, 复数域和实数域上的因式分解.
第七章. 相似标准形理论
将线性变换对向量的作用看作乘法.
不变子空间. 循环子空间.
多项式矩阵的相抵. 根子空间分解与循环子空间分解.
实相似. 一般数域上的相似.
第八章. 二次型
定义: 二次齐次函数. 用对称方阵表示.
一般有限维空间上的基变换引起矩阵相合.
相合对角化.
定正条件.
相合不变量. 实相合的惯性定理.
双线性函数.
第九章. 欧氏空间与酉空间
欧氏内积.
正交性. 正交化方法. 标准正交基.
伴随变换. 规范变换. 规范方阵的正交相似标准形.
正交变换.
实二次型在正交相似下的标准型. 应用例: 二次曲线与二次曲面的分类.
酉空间. 复规范方阵的酉相似. 厄尔米阵. 酉方阵.