实验十一 无源滤波器的研究
一、实验目的
1．掌握测定R、C无源滤波器的幅频特性的方法。
2．了解由R、C构成的一些简单的二阶无源滤波电路及其特性。
3．通过理论分析和实验测试加深对无源滤波器的认识。
二、实验原理
滤波器是一种选择装置，它对输入信号进行加工和处理，从中选出某些特定的信号作为输出。电滤波器的任务是对输入信号进行选频加权传输。
电滤波器是Campbell和wagner在第一次世界大战期间各自独立发明的，当时直接应用于长途载波电话等通信系统。电滤波器主要由无源元件R、L、C构成，称为无源滤波器。
滤波器的输出与输入关系通常用电压转移函数H(S)来描述，电压转移函数又称为电压增益函数，它的定义如下
式中UO(S)、Ui(S)分别为输出、输入电压的拉氏变换。在正弦稳态情况下，S=jω，电压转移函数可写成
式中
表示输出与输入的幅值比，称为幅值函数或增益函数，它与频率的关系称为幅频特性；F(ω)表示输出与输入的相位差，称为相位函数，它与频率的关系称为相频特性。幅频特性与相频特性统称滤波器的频率响应。滤波器的幅频特性很容易用实验方法测定。
本实验仅研究一些基本的二阶滤波电路。滤波器按幅频特性的不同，可分为低通、高通、带通和带阻和全通滤波电路等几种，图附录1—1给出了低通、高通、带通和带阻滤波电的典型幅频特性。
低通滤波电路，其幅频响应如图附录1—1(a)所示，图中|H(jωC)|为增益的幅值，K为增益常数。由图可知，它的功能是通过从零到某一截止频率ωC的低频信号，而对大于ωC的所有频率则衰减，因此其带宽B=ωC。
高通滤波电路，其幅频响应如图附录1—1(b)所示。由图可以看到，在0<ω<ωC范围内的频率为阻带，高于ωC的频率为通带。
带通滤波电路，其幅频响应如图附录1—1(c)所示。图中ωCl为下截止频率，ωCh为上截止频率，ω0为中心频率。由图可知，它有两个阻带：0<ω<ωCl和ω>ωCh，因此带宽B=ωCh-ωCl。
带阻滤波电路，其幅频响应如图附录1—1(d)所示。由图可知，它有两个通带：0<ω<ωCl及ω>ωCh和一个阻带ωCl<ω<ωCh。因此它的功能是衰减ωCl到ωCh间的信号。通带ω>ωCh也是有限的。
带阻滤波电路阻带中点所在的频率ωZ叫零点频率。
(a)低通滤波电路 (b)高通滤波电路
(c)带通滤波电路 (d)带阻滤波电路
图附录1—1 各种滤波电路的幅频响应
二阶基本节低通、高通、带通和带阻滤波器的电压转移函数分别为
低通
高通
带通
带阻
式中K、ωp、ωz和Ｑp分别称为增益常数、极点频率、零点频率和极偶品质因数。正弦稳态时的电压转移函数可分别写成
低通
高通
带通
带阻
三、实验内容
1．二阶无源低通滤波器
（1）二阶无源RC低通滤波器的幅频特性
图附录1—2所示电路为二阶无源RC低通滤波器基本节，采用复频域分析，可以得其电压转移函数为：
图附录1—2
根据二阶基本节低通滤波器电压转移函数的典型表达式：
可得增益常数K=1，极点频率
和极偶品质因数
。
正弦稳态时，电压转移函数可写成：
幅值函数为：
由上式可知：
当
时，
当
时，
当
时，
可见随着频率升高幅值函数值减小，该电路具有使低频信号通过的特性，故称为低通滤波器。
（2）实验步骤与注意事项
按图附录1—2接线。函数信号发生器选定为正弦波输出，固定输出信号幅度为
，改变
(零频率可以用
，或
近似)从40Hz~3KHz范围内不同值时，用毫伏表测量
。要求找出极点频率
和截止频率
的位量，其余各点频率由学生自行决定，数据填入表1中。画出此滤波器的幅频特性曲线，并进行误差分析。
注：当
时，对应的频率称为(
)；截止频率(
)是幅值函数自
下降3db，即
时，所对应的频率。
每次改变频率时都应该注意函数发生器的输出幅度为Uip-p=1V。我们可以用示波器来监视函数信号发生器的输出幅度。
表1
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40 |
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3K |
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2．二阶高通滤波器
(1) 二阶无源RC高通滤波器的幅频特性
图附录1—3
图附录1—3所示电路为二阶无源RC高通滤波器基本节，采用复频域分析，可以得其电压转移函数为：
根据二阶基本节高通滤波器电压转移函数的典型表达式：
可得增益常数K=1，极点频率，极偶品质因数。
正弦稳态时，电压转移函数可写成：
幅值函数为：
由上式可知：
当
时，
当
时，
当
时，
可见随着频率增加幅值函数增大，该电路具有使高频信号通过的特性，故称为高频滤波器。
(2) 实验步骤与注意事项
按图附录1—3接线。除正弦信号频率范围取100Hz~10KHz外，操作步骤与注意事项和二阶无源RC低通滤波器相同。要求找出和，数据填入表2中。画出此滤波器的幅频特性曲线，并进行误差分析。
表2
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100 |
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10K |
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3．二阶带通滤波器
（1）二阶无源RC带通滤波器的幅频特性
图附录1—4
图附录1—4所示电路为二阶无源RC带通滤波器基本节，采用复频域分析，可以得其电压转移函数为：
根据二阶基本节带通滤波器电压转移函数的典型表达式：
可得增益常数
，极点频率
，极偶品质因数
。
正弦稳态时，电压转移函数可写成：
幅值函数为：
当
时，
称为带通滤波器的中心频率，即
截止频率是幅值函数自
下降3db(即
)时所对应的频率。由｜H(jω)｜的表达式可得
对上式求解得
，
分别称为上截止频率和下截止频率。
通频带宽度B为
品质因数Q为
可见二阶带通滤波器的品质因数Q等于极偶品质因数Qp。Q是衡量带通滤波器的频率选择能力的一个重要指标。
由｜H(jω)｜的表达式可知：
当时，
当时，
当
时，
信号频率偏离中心频率越远，幅值函数衰减越大。由于品质因数
说明无源低通滤波器的品质因数太低，通频带宽度
很宽，故滤波器的选择性差。
(2)实验步骤与注意事项
按图附录1—4接线。除正弦信号频率范围取100Hz~8KHz外，操作步骤与注意事项和二阶无源RC低通滤波器相同。要求找出
、
和
的位量，数据填入表3中。画出此滤波器的幅频特性曲线，并进行误差分析。
表3
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100 |
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8K |
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四、思考题
1． 从滤波器的一些数学表达中，你如何理解滤波的概念？
2．
在频域分析中，研究和
有何意义？
3． 从低通、高通、带通滤波器的幅频特性说明中，你认为全通滤波的幅频特性应当如何？
五、实验设备
1． 函数信号发生器
2． 晶体管毫伏表
3． 双踪示波器
4． 可变电容箱
5． 可变电阻箱