牛顿力学的发展
一  牛顿力学的新表述
1—1  能量概念
1---2  作用量概念
1．虚位移原理
2．达朗贝尔原理
3．达朗贝尔一拉格朗日原理
4．作用量原理
二  混    沌
2 --1  天气预报
2—2  洛仑茨玩具天气

牛顿力学的发展
一  牛顿力学的新表述
    牛顿力学发展的一个方面，表现在用新的、更简洁的形式重新表述牛顿运动定律，如拉格朗日方程组、哈密顿方程组．所有这些形式彼此等价，并且在物理内容上也等价于牛顿运动方程．
    一个公理体系，它作为一个整体才有“真理性”，而其中的每一条只是假设而已．实验能证实的是公理体系的有效性，但不能仅证实其中的某一条．
    公理体系作为一个整体，可以有不同的结构形式，而这些结构形式是等价的，即它们在数学上可相互推导，具有等价的理论解释功能．
    牛顿力学的公理体系，是以质点为对象，以惯性为出发点，在动量基础上构建起来的．这种结构在思想方法上有其弱点：“只见树木，不见森林”．它只着眼于“质点”和“瞬时”，解决质点的动力学问题．难以解决“质点系”和“过程”的力学问题．
    牛顿之后，一批数学家、物理学家，在牛顿力学遇到困难的问题上，寻找能在整体上考虑“质点系”和“过程”的新概念、新方法和新原理．为此，他们进行了艰苦卓绝的研究工作．
    1—1  能量概念
    任何守恒量都是可加量，可应用于系统与过程．1669年，惠更斯在完全弹性碰撞过程中发现了一个守恒量．莱布尼兹称它为活力，他主张用活力守恒的思想，重新思索自然过程．把它作为力学的基本概念纳入公理体系之中，重新表述运动定律．莱布尼兹的这种思想，受到欧洲大陆科学家的坚定支持．
    “功”是一个过程量，是由彭赛利(J．V．Pece let，法国，1788—1867)引入的，后来科里奥利(G．G．Coriolis，法国，1792—1843)明确了功的定义，并指出了活力不是，而是．把“活力守恒原理”扩展为更普遍的“活力原理”．
    直至1787年，托马斯·杨(Thomas Young，法国，1773—1829)在《自然哲学讲义》中，引入了“能量”概念取代“活力”，并把“功能原理”表述成今天熟知的形式．
    当我们用能量概念去思索系统的力学过程时，必须把“能量守恒原理”确立为“公理”．若实验发现动能(活力)不守恒时，我们的态度是不放弃这个思想，而是去寻找我们还不清楚的其他形式的能量．把发现的新形式的能量，加上动能以后，再考察两者之和是否在此过程中保持不变．以此类推，人们正是在能量守恒信念的指导下，去发现各种各样的能量形式．
    1784年，J．伯努利(J．Bernouli)引入了“势函数”这个极为重要的概念，大大简化了“相互作用”的描述．由势函数推导力，用势函数取代力，用统一的能量概念思索力学过程．
1---2作用量概念
1．虚位移原理
    1717年，J．伯努利在写给法国数学家范立刚的信中，发现了“虚位移原理”．他引入的虚位移概念，指质点在未受约束的方向一切可能的位移．
    这个原理给出了质点系处于静平衡状态的普适条件：．即“质点系”中第i个质点的受力Fi与虚位移在力Fi方向投影的乘积的总和恒为零．拉格朗日对此评价极高，他说：
    “据我所知，首先认识到虚位移原理的极大普遍性，及其在解决静力学问题上用处的人是J·伯努利．……这个原理不仅非常简单，非常一般，而且还有一个重大的，独特的优点：它能用一般公式表示出来，把所有能够提出的关于物体平衡的问题包括其中．”
    当科里奥利给出了“功”的定义后，“虚位移原理”就转变为至今通用的“虚功原理”．即一个质点系的平衡条件是对所有可能的“位形”变化，要求对每一个质点的“虚功”之和恒为零．
    2．达朗贝尔原理
    1743年，达朗贝尔(Dalembert，法国，1717—1783)在《动力学》论文中，引人了假想的“惯性力”概念．把动力学问题变成静力学问题．
    这个原理表述为：任一瞬时，作用于质点上的外力和惯性力平衡．惯性力为()，作用在第i个质点上．平衡条件：．    、
    3．达朗贝尔一拉格朗日原理
    1788年，拉格朗日又将虚功原理与达朗贝尔原理结合起来，成为解决质点系动力学问题的普适方程：．
    在简化方程中，引入拉格朗日函数，使它等于质点系动能与势能之差：L=．并把它表示为广义坐标和广义速度的函数，，则有拉格朗日方程组
              
它是整个分析力学的基石．
    欧拉、拉格朗日用代数方法取代牛顿的几何方法重新表述的牛顿力学，称为分析力学．
  4．作用量原理
  在对自然定律的思索中，“最小”观念在亚里士多德那里就有了：“在用很少就可以完成的地方，却用了很多，是无谓的”．这个观念一直以不同的形式盘旋在历代自然哲学家与科学家的头脑中．其中有影响的，是奥卡姆(w．Occan，英国，1300—1349)，他从方法论上提出了“经济原则”——“用较少即可做到的事，多做反而无益”．
    在物理学中成功使用“最小”观念的最早一个例子，是光学中的“费马原理”(P．Fermat，法国，1601—1665)．费马在1662年提出一个假设：“不管在什么媒质中，光从一点到另一点传播的真实路线，比起联结这两点的任何别的路线所花费的时间最小”．
    费马原理作为几何光学的基本原理，它成功地把三条经验定律：均匀媒质中光的直线传播定律，两种媒质分界面上的反射定律和折射定律，转变为费马原理的数学推论．                                   

1 744年．莫泊丢(Maupertuis，1698—1759)认为“最小时间”并非总是正确的，他引入了“作用量”概念，提出了“最小作用量原理”：“质点系实际发生的运动，是使某一作用量取最小值的运动”．他认为这一原理，能够取代牛顿运动定律，成为力学的理论基础．问题在于寻找作用量的数学描述．
      1843年，哈密顿(w．R．Hamilton，英国，1805—1865)对作用量的数学形式作以下假设 
           
首先把拉格朗日函数表述为广义坐标和广义动量的函数，作用量定义为质点系拉格朗日函数对时间的积分．
    作用量是一个过程量，哈密顿最小作用量原理表述为：，即所有可能的过程中，至多只有一个过程是真实发生的．这个过程是使作用量具有泛函极值
的过程．
    由于真实过程仅要求其作用量是一个极值即可，无需“最小”，故以后称为“作用量原理”，把“最小”删去了．
哈密顿引入哈密顿函数，它定义为动能与势能之和：．由作用量原理，可推导出哈密顿方程组：
          
    哈密顿作为“公IN"提出的“作用量原理”，为力学理论提供了一个全新的基础．这一发展要从更概括的概念和更少的公理出发，运用数学方法把已有的力学知识组织成更严密、更系统和更抽象的公理演绎体系．它不仅给出了一切力学问题统一的观点和方法，而且这种科学的抽象，为包容更广泛的经验事实创造了条件，成为新的科学研究的起点．1886年，亥姆霍兹(Helmholtz，德国，1821～1894)把它应用到一系列非力学过程中，普朗克把它看作是自然定律中最概括的一个．

二  混    沌
20世纪牛顿力学的另一个发展，就是70年代发现的混沌现象．
 2-1  天气预报
    在确定论思想的指导下，人们普遍认为对天气及其变化的准确预报是可能的．1922年，理查逊(Richardson，1881—1953)发表了一篇《用数值方法进行天气预报》的文章．在文章的结尾，他提出了一个十分诱人的想法：
    “把一大批长于计算的研究者集中在一起．让他们相互配合，协调一致地对影响天气变化的各种数据进行计算以进行天气预报．”
    为了使天气预报和实际的天气变化达到同步，他还乐观地估计大约需要64 000个熟练的计算者．他还设想将来或许有可能发展出强有力的计算工具来进行天气预报．
    20年后，这种计算工具问世了．1946年2月10日，美国陆军军械部与宾夕法尼亚大学摩尔学院共同举行新闻发布会，宣布第一台电子计算机“爱尼亚克”(Electronic Namerical Integrator and Computer，简写ENIAC)研制成功．它有5种功能：
1．每秒5 000次加法运算；
    2．每秒50次乘法运算；
    3．平方和立方运算；
    4．sin和COS函数数值运算；
    5．其他更复杂的计算．
    1946年底，“爱尼亚克”分装后运往阿伯丁军械试验场的弹道实验室，开始了他的计算生涯．除了常规的弹道计算外，后来还涉及天气预报、原子核能、宇宙线、风洞实验设计等其他科研领域．
    有了电子计算机后，人们普遍认为，只要能够充分、准确、及时地收集气象观测数据(包括气压、温度、湿度、风力等)，然后根据大气运动方程进行计算，对天气的变化可以作出精确预报．如同科学家根据牛顿运动定律，用铅笔和计算器算出哈雷彗星的出没，海王星和冥王星的存在一样；也如同科学家精确勾画人造卫星和洲际导弹的轨道一样．
    20世纪50—60年代，物理学界准备利用数字计算机和空间卫星两项技术用于预报、改变和控制天气的“全球大气研究计划”，使社会从天气的折磨下解脱出来．建造了第一台计算机的冯·诺伊曼(Neumann，1903—1957)为物理学界提出的这个计划发表了令人神往的演说，同时游说于气象学家之间．80年代开始实施这项计划，美国国家气象中心，欧洲中期预报气象中心，在天气预报事业上都集聚了人力物力．但令人沮丧的世界上最好的长于2～3天的预报也仅仅是推测而已，超过6～7天的预报则毫无价值．

2—2 洛仑茨玩具天气
洛仑茨最初也持有确定论观点．他在继续里查逊的工作中，已拥有一台“皇家麦克比”(Royal McBee)型计算机．有了这个条件，在1960年洛仑茨制造出了自己的“玩具天气”．
他把气象问题简化，提炼影响气候变化的一些主要因素．应用物理学定律，列出了分别表示温度与压力，压力与风速等关系的12个方程，用数值计算方法对气象的变化作出模拟．开始时，洛仑茨通过计算机打出的每分钟数据，用它们的连线表示一天的气象变化．包括气压的升降、风向的转变、气温的起伏等．他发现：这些现象重复出现，但这种重复又不是精确的，一次与另一次绝不完全相
为什么每天的天气总是不一样呢?
    1961年冬季的一天，洛仑茨用他的计算机算出了一长段数据，得到了一个天气变化的序列，为了核对这个结果，他把初始值重新输入，让计算机重算一遍，以检验上一次计算的正确性．可能为了节省计算机的内存空间或运算时间，他没有将整个计算从头运行，而是从中途开始．然后，他就出去喝了咖啡，一小时后回来时，发现了一个意想不到的结果：
    新一轮的计算并没有准确的重复老结果，而是迅速偏离．两轮计算数据差别之大，完全失去了相似性．
    洛仑茨第一个想法是：坏了一个真空管．突然他明白了：计算机没有毛病，问题出在并没有把第一轮的6位小数0．506 127输进去，而只用了3位小数0．506作为初始值输了进去．他原本认为舍弃这只有千分之一的后三位小数是无关紧要的，但结果表明，小小的误差却带来了巨大的差异．真是“差之毫厘，失之千里”．
    洛仑茨决定要更仔细地观察．他把计算机计算结果，即一条输出曲线摹绘在透明片上，然后把它再覆盖到另一次计算结果，即也是一条输出曲线上，在图上看得非常清楚：
    开始时两条曲线还较好地重叠在一起，特别前两个隆峰非常接近．但到第三个和第四个隆峰时，差别就相当大，相似性完全消失了．
    洛仑茨这一偶然举动导致一个重大发现：从两组相邻近的初始值出发的两条轨道，开始时似乎并没显著偏离．但经过足够长时间后，初始值的微小差异，在变化过程中会逐渐放大，最终导致运动轨道的巨大差异．
    洛仑茨后来用“蝴蝶效应”作了一个生动比喻：“巴西亚马逊河丛林中的一只蝴蝶扑腾了几下翅膀，三个月后在美国得克萨斯州可能引起一场龙卷风”．
    洛仑茨敏锐地看出了，两条曲线不能精确重演与长期天气预报的不可能之间存在着必然的联系．基于这种认识，他把气候问题丢在一边，从流体运动“纳维一斯托克斯方程组”出发，抓住气候变化中大气对流过程：烈日烘烤大地，使地面附近的空气因受热而上升．升到了高空的空气又通过散热降温而下降，这就是对流运动．
    地球大气层根据密度，物理性质和运动状态不同，在垂直方向上由地面开始分为五层，依次为对流层、平流层、中间层、热层、散逸层．其中，对流层是决定天气现象的主要场所．如果对流是稳定的，气流就以恒定方式上升；如果不稳定，大气的运动就复杂化了．
    洛仑茨在简化“纳维一斯托克斯方程组”过程中，考虑了大气对流过程中的
动力学效应和热传输效应，建立了三个方程：
              
  这就是1963年洛仑茨发表在《气象科学杂志》20卷第二期上题为《确定性周期流》中列出的方程组．尽管这组方程是大大简化了的，但它刻画了大气真运动的基本特点，与真实的大气运动是大体类似的．
  方程组中出现了非线性项：zz，xy．非线性方程不能用解析方法求解．洛仑用数值方法，由初始值，通过迭代计算下一时刻的值，反复循环，直到得到最后值．计算机最擅长这类计算．洛仑茨在三维相空间中，用一点对应(z，y,z)一数．计算机计算的数字序列对应的点序列画出了一条连续的相轨迹，描述了大系统的动力学行为(见图)．
       
(d)
图  洛仑茨混沌吸引子的生成过程(从Oxy平面看)
此图显示的复杂性，使洛仑茨大吃一惊．它像是三维相空间里的一种双螺旋，又像是一只蝴蝶展开了双翼．从图上可看出，相轨迹决不会自身相交，也不会越出某边界．系统的状态永远不会重复，洛仑茨把这种相轨道称为“确定性的非周期流”，即他在大气运动方程组中求得的是非周期解．
    洛仑茨意识到非周期性与不可预言之间的联系，断言：长期天气预报根本是不可能的．洛仑茨这篇划时代的论文当时并没有多少数学家看到它，即使看到了也未必能理解它的重要性．直到十多年后，它的意义才逐渐为人们所理解，并引起轰动．确定性方程从初始状态出发，得到了非周期流，即发现了混沌．说明不可积系统中系统相轨道可能是不确定的，出现随机行为．
    一个动力学系统的相轨道决定于两个因素：一个因素是系统状态演化的规律，它是确定的．另一个因素是系统的初始条件．
    在运动方程确定后，相轨道惟一地取决于初始条件．一组确定的初始值，有一条确定的相轨道，说明了系统状态对初始状态的依赖性．从这个意义上讲，拉普拉斯确定论思想，是没有问题的，这里不存在系统未来状态的随机性．但是初始值是通过测量获得的，而任何测量都是有误差的．实验给出的初始值不是一个数，而是随机地出现在测量的误差范围之内．这种误差可以减小，却不能使它消失．一个初始“真值”，可用实数集中的一个数表示．而实数集有两个子集：有理数与无理数．在实数集中，有理数基数与无理数基数相比，不过是“沧海一粟”，“真值”出现在有理数集的概率几乎为零．但初始测量值，只能用有理数表示，它与“真值”之间的误差是不可避免的．
    问题在于这个误差对动力学系统未来的状态有什么影响?
    关键在于动力学系统的相轨道对初值误差是否敏感．如果不敏感，系统的状态变化有一种收敛性，初始值任意小的差值，在状态变化过程中不会放大成为任意大．在这种情况下，拉普拉斯确定论思想与实际情况一致．如果敏感，则初始值任意小的差值会在状态变化过程中放大．系统从误差范围内每一个可能值出发的无限多的轨道，相互排斥，并永远分道扬镳，最终使系统的末态随机地处在上述无限多轨道中的任一条．
    这一点，庞加莱早在1908年在《天体力学新方法》中就指出了：“如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态．不过，即使自然定律对我们已无秘密可言，我们也只能近似地知道初始状态．如果情况允许我们以同样的近似程度预见后继状态，这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了，它受规律支配．但是，情况并非总是如此．可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后现象中产生了极大差别，前者的微小误差促成了后者的巨大误差，预言变得不可能了，我们有的是偶然发生的现象”．